Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），则S₂₀₁₆=3•2¹⁰⁰⁸-3．

Answer 1

分析 a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），a₁=1，可得a_n+2•a_n+1=2ⁿ⁺¹，$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=2$，因此数列{a_n}奇数项与偶首项分别成等比数列，公比为2，首项分别分别求出．

解答 解：∵a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），a₁=1，
∴a₂=2，a₃=2．
又a_n+2•a_n+1=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}=2$，
∴数列{a_n}奇数项与偶首项分别成等比数列，公比为2，首项分别为1，2．
∴S₂₀₁₆=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）
=$\frac{{2}^{1008}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{1008}-1）}{2-1}$
=3•2¹⁰⁰⁸-3．
故答案为：3•2¹⁰⁰⁸-3．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．