Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别是M、m，集合A={x|f（x）=x}．若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值．

Answer 1

分析：由f（0）=2得到c的值，集合A的方程可变为f（x）-x=0，因为A={1，2}，得到1，2是方程的解，根据韦达定理即可求出a和b，把a、b、c代入得到f（x）的解析式，在[-2，2]上根据函数的图象可知m和M的值．

解答：解：由f（0）=2可知c=2，
∵A={1，2}，
∴1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的两实根，
∴

1+2=- b-1 a 1×2= c a

，解得a=1，b=-2，
∴f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
因为x∈[-2，2]，根据函数图象可知，
当x=1时，f（x）_min=f（1）=1，即m=1，
当x=-2时，f（x）_max=f（-2）=10，即M=10，
∴M=10，m=1．

点评：本题主要查了学生灵活运用韦达定理解决实际问题，掌握利用数形结合法解决数学问题，会求一个闭区间上二次函数的最值．属于中档题．