Question

设函数f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈[0，

π

6

]时，f（x）的最大值为2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把函数的解析式化为

2

sin（2x+

π

4

）+a+1，最小正周期 T=

2π

2

，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得x的范围，即为所求．
（2）根据

π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

12

，可得当  2x+

π

4

=

π

2

 时，sin（2x+

π

4

）=1，由 f_max（x）=

2

+1+a=2，
求出a的值．

解答：解：（1）f（x）=2cos²x+sin2x+a=1+cos2x+sin2x+a=

2

sin（2x+

π

4

）+a+1，
则函数f（x）的最小正周期 T=

2π

2

=π．  （4分）
由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈z，
即[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，，k∈z，为 f（x） 的单调递增区间．    （7分）
（2）当x∈[0，

π

6

]时，

π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

12

，当  2x+

π

4

=

π

2

 时，sin（2x+

π

4

）=1，
所以，f_max（x）=

2

+1+a=2，∴a=1-

2

．            （14分）

点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域和周期性，把函数的解析式化为

2

sin（2x+

π

4

）+a+1，是解题的突破口．