Question

已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）．
（1）若a=1，求f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a=1，将函数转化为分段函数，进而每一段转化为二次函数，用二次函数法求得每段的单调区间即可．
（2）受（1）的启发，用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于a不具体，要根据对称轴分类讨论．
（3）由“函数h（x）在区间[1，2]上是增函数”要转化为恒成立问题．可用单调性定义，也可用导数法．
解答：解：（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1=（2分）
∴f（x）的单调增区间为（），（-，0）；
 f（x）的单调减区间为（-），（）（4分）
（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，
①若，即，则f（x）在[1，2]为增函数g（a）=f（1）=3a-2
②若，即，
③若，即时，f（x）在[1，2]上是减函数：
g（a）=f（2）=6a-3．
综上可得（10分）

（3）在区间[1，2]上任取x₁、x₂，
则
=（*）（12分）
∵h（x）在[1，2]上是增函数
∴h（x₂）-h（x₁）＞0
∴（*）可转化为ax₁x₂-（2a-1）＞0对任意x₁、x₂∈[1，2]
且x₁＜x₂都成立，即ax₁x₂＞2a-1
①当a=0时，上式显然成立
②a＞0，，由1＜x₁x₂＜4得，解得0＜a≤1
③a＜0，，得
所以实数a的取值范围是（16分）
点评：本题主要考查分段函数，考查求其单调区间，方法是一段一段地求出即可，考查求其最值，方法是每一段求出其最值，各段中最大的为最大值，最小的为最小值，考查其单调性的应用，这类问题要转化为恒成立问题，实质还是研究最值，这里就会涉及到构造新函数的问题．