Question

【题目】已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且满足 ．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若点M在抛物线C的准线上运动，其纵坐标的取值范围是[﹣1，1]，且 ，点N是以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线的一个公共点，求点N的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），其焦点F的坐标为

直线l的方程为 ，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立方程 消去x得：y2﹣2pty﹣p2=0，

所以 ，

因为 ，解得p=1，

所以所求抛物线C的标准方程为y2=2x

（2）解：设点 ，

由（1）知， ，所以 ，

因为 ，

所以（t﹣m）2=9得t=m+3或t=m﹣3，

因为﹣1≤m≤1，∴2≤t≤4或﹣4≤t≤﹣2，

由抛物线定义可知，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，

所以点N的纵坐标为 ，

所以点N的纵坐标的取值范围是[﹣4，﹣2]∪[2，4]

【解析】（1）设出抛物线方程，联立方程 消去x得：y2﹣2pty﹣p2=0，利用韦达定理及向量的数量积公式，求出p，即可求抛物线的方程；（2）由（1）知， ，结合 ，确定t的范围，根据抛物线的定义可知，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，可得点N的纵坐标为 ，即可求出点N的纵坐标的取值范围．