题目内容

（理）若半径是R的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比是________．

$\text{[math]}$
分析：通过题意求出棱柱的高，底面边长，底面面积，求出棱柱的体积，球的体积，然后求出体积比．
解答：球与正三棱柱各个面都相切，所以三棱柱高H=2R 底面边长 L=2 $\text{[math]}$ R 底面面积：S= $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ R²
三棱柱体积：V=SH=6 $\text{[math]}$ R³；球的体积为： $\text{[math]}$
所以球与正三棱柱的体积比： $\text{[math]}$ ：6 $\text{[math]}$ R³= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．