Question

【题目】在四棱锥中，平面底面，，，平分，为的中点，，，，，分别为上一点，且.

（1）若，证明：平面.

（2）过点作平面的垂线，垂足为，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】试题分析：（1）在中，为直角，进而得，再利用比例关系式，得.利用面面平行的性质，证得结论；

（2）过作，垂足为，证得底面，得出三棱锥的高为，

再根据，即可求解三棱锥的体积.

试题解析：

（1）证明：在中，为直角，

，则，

又平分，∴，

∵，，∴由余弦定理可得，∴.

当时，.

又，，∴平面平面.

∵平面，∴平面.

（2）解：过作，垂足为，则，

由得为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形.

∵平面底面，，∴底面，∴.

∵，，

∴平面，∴，则平面.

过作的垂线，垂足为，则底面.

易得.

∵，

∴.