题目内容

如图，已知直线 $数学公式$ 与抛物线 $数学公式$ 和圆 $数学公式$ 都相切，F是C₁的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C₁上的一动点，以A为切点作抛物线C₁的切线，直线交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l₂，直线l₂与y轴交点为N，连接MF交抛物线C₁于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．

（1）解：由已知，圆C₂：x²+（y+1）²=5的圆心为C₂（0，-1），半径为 $\text{[math]}$
由题设圆心到直线l₁：y=2x+m的距离d= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得m=-6（m=4舍去）．
设l₁与抛物线的相切点为A₀（x₀，y₀），又y′=2ax，∴2ax₀=2
∴x₀= $\text{[math]}$ ，y₀= $\text{[math]}$ ，代入直线方程得： $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴m=-6， $\text{[math]}$ ；
（2）证明：由（1）知抛物线C₁方程为y= $\text{[math]}$ ，焦点 F（0， $\text{[math]}$ ）
设 A（x₁， $\text{[math]}$ ），由（1）知以A为切点的切线l的方程为 $\text{[math]}$
令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为（0，- $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（0，- $\text{[math]}$ ）
∵以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，
∴ $\text{[math]}$ =（x₁，-3）
∵F是定点，∴点M在定直线 $\text{[math]}$ 上；
（3）解：直线MF：y=kx+ $\text{[math]}$ ，代入y= $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
∴x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9．
∴S_△NPQ= $\text{[math]}$ |NF||x₁-x₂|= $\text{[math]}$ =9 $\text{[math]}$
∵k≠0，∴S_△NPQ＞9，
∴NPQ的面积S的取值范围（9，+∞）．
分析：（1）利用圆心到直线的距离等于半径求出m，再利用导函数与切线的关系求出a的值即可；
（2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再利用以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，结合向量运算即可求出点M所在的定直线；
（3）设直线MF的方程代入抛物线方程，结合根与系数的关系及三角形面积公式得出面积的表达式，从而可求△NPQ的面积S的取值范围．
点评：本题综合考查圆与椭圆知识，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．