Question

已知f′（x）是函数f（x）=

1

2

x²+

x

2n

（n∈N^*）的导函数，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f′（a_n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=（2n-1）（2-a_n），S_n为数列{b_n}前n项和，求S_n．

Answer 1

分析：（1）由条件求出f′（x）=x+

1

2n

，于是a_n+1=f′（a_n）=a_n+

1

2n

，计算 a_n-a₁ 的值为1-

1

2n-1

，可得 a_n．
（2）由于bn=（2n-1）（2-a_n）=（2n-1）•

1

2n-1

，求出前n项和 S_n 的解析式，用错位相减法求得 （1-

1

2

）S_n 的值，
即可求得S_n的值．

解答：解 （1）∵函数f（x）=

1

2

x²+

x

2n

，n∈N^*，
∴f′（x）=x+

1

2n

，于是a_n+1=f′（a_n）=a_n+

1

2n

，从而 a_n+1-a_n=

1

2n

，n∈N^*，（3分）
∴a_n-a₁=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+（a₂-a₁）
=

1

2n-1

+

1

2n-2

+…+

1

22

+

1

2

=1-

1

2n-1

，即 a_n=2-

1

2n-1

，n∈N^*．  （6分）
（2）∵b_n=（2n-1）（2-a_n）=（2n-1）•

1

2n-1

，
∴S_n=1×1+3×

1

2

+5×

1

22

+…+（2n-1）

1

2n-1

，故

1

2

S n=1×

1

2

+3×

1

22

+5×

1

23

+…+（2n-1）

1

2n

，
用错位相减法求得 （1-

1

2

）S_n=1+2[

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

]-（2n-1）

1

2n

=3-

4

2n

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，…（9分）
故S_n=6-

2n+3

2n-1

．（12分）

点评：本题主要考查导数的运算，数列与函数的综合应用，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．