Question

（本题满分14分

已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，

椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

⑴求椭圆C的方程；

⑵设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆

于另一点，求直线的斜率的取值范围；

⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．

 

Answer 1

【答案】

⑴；

⑵或；

⑶见解析

【解析】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解

（1）根据椭圆的性质，离心率得到参数a,c的关系，然后利用线与圆相切得到参数b的值，进而得到椭圆的方程。

（2）设出直线与椭圆的方程联立方程组，结合韦达定理，和判别式大于零得到直线的斜率的范围。

（3）表示直线ME的方程，以及结合点的坐标的对称关系，得到k的关系式，进而得到直线与轴相交于定点

解:⑴由题意知，

所以，即，

又因为，所以，

故椭圆的方程为：．-----------4分

⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为  ①

联立消去得：，

由得，

又不合题意，

所以直线的斜率的取值范围是或．---8分

⑶设点，则，

直线的方程为，

令，得，

将代入整理，得．     ②

由得①代入②整理，得，

所以直线与轴相交于定点．         ----------------14分