Question

设，函数f（x）的定义域为[0，1]且f（0）=0，f（1）=1当x≥y时有f（）=f（x）sinα+（1﹣sinα）f（y）．

（1）求f（），f（）；

（2）求α的值；

（3）求函数g（x）=sin（α﹣2x）的单调区间．

Answer 1

考点：

复合三角函数的单调性；抽象函数及其应用．

专题：

计算题．

分析：

（1）根据f（）=f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（0），运算求得结果，再根据f（）=f（）=f（）sinα+（1﹣sinα）f（0），运算求得结果．

（2）求出f（）=f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（）=2sinα﹣sin²α．同理求得f（）=3sin²α﹣2sin³α，再由sinα=3sin²α﹣2sin³α，解得sin α的值，从而求得α的值．

（3）化简函数g（x）=sin（α﹣2x）=﹣sin（2x﹣），令 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到g（x）的减区间．令 2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，

求得x的范围，即可得到g（x）的增区间．

解答：

解：（1）f（）=f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（0）=sin α．

f（）=f（）=f（）sinα+（1﹣sinα）f（0）=sin²α．

（2）∵f（）=f（）=f（1）sinα+（1﹣sinα）f（）=sinα+（1﹣sinα）sinα=2sinα﹣sin²α．

f（）=f（）=f（）sinα+（1﹣sinα）f（）=（2sinα﹣sin²α ）sinα+（1﹣sinα）sin²α=3sin²α﹣2sin³α，

∴sinα=3sin²α﹣2sin³α，解得sin α=0，或 sin α=1，或 sin α=．

∵，∴sin α=，α=．

（3）函数g（x）=sin（α﹣2x）=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣），令 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得 kπ﹣≤x≤kπ+，

故函数g（x）的减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．

 令 2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

点评：

本题主要考查抽象函数的应用，复合三角函数的单调性，属于中档题．