Question

【题目】已知函数，

（1）若函数存在零点，求实数的取值范围；

（2）求证：若，则.

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

（1）在上单调递减，在上单调递增,只需最小值大于等于零即可；

（2）证，即证，转求左侧的最大值，右侧的最小值即可.

（1），令，得；故在上单调递减，在上单调递增；

因为且存在零点，故，得。

（2）法一：当，因为，要证，即证，

令，则。令，解得，

故在上单调递增，在上单调递减，。

令，则。令，解得，

故在上单调递增，在上单调递减，。

又因为，所以，即，所以，

即。

法二：令，则，

令，

则，所以在单调递减，即在单调递减，

又，，所以，使得，

且当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减；

所以，又，所以，

故，令，

则，所以在单调递增，所以，

故，即，

所以若，则。

法三：要证，即证，其中

令，，

即证，令，则

，在上单调递增，又，

故当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

故，得证。