题目内容
已知三角形△ABC中，AB=2，AC2+BC2=10，则△ABC面积最大值是 ．
分析：依题意，利用余弦定理可求得cosC=
，再求得sinC，利用三角形的面积公式与基本不等式即可求得答案．
| 3 |
| ab |
解答：解：三角形△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵c=2，a2+b2=10，
∴由余弦定理得：cosC=
=
=
，
∴sin2C=1-cos2C=1-
，
∵S△ABC=
absinC，
∴S△ABC2=
a2b2sin2C=
a2b2（1-
）=
a2b2-
．
∴4S△ABC2+9=a2b2≤(
)2=25（当且仅当a2=b2时取等号），
∴S△ABC2≤4．
∴S△ABCmax=2．
故答案为：2．
∵c=2，a2+b2=10，
∴由余弦定理得：cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 10-4 |
| 2ab |
| 3 |
| ab |
∴sin2C=1-cos2C=1-
| 9 |
| a2b2 |
∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
∴S△ABC2=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| a2b2 |
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
∴4S△ABC2+9=a2b2≤(
| a2+b2 |
| 2 |
∴S△ABC2≤4．
∴S△ABCmax=2．
故答案为：2．
点评：本题考查余弦定理，考查诱导公式与三角形面积公式及基本不等式的综合应用，属于难题．
练习册系列答案
相关题目