Question

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）满足a_n+1=a_nb_n+1，，且点P₁的坐标为（1，-1）．
（Ⅰ）求经过点P₁，P₂的直线l的方程；
（Ⅱ） 已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在P₁，P₂两点确定的直线l上，求证：数列是等差数列．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N^*，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥成立的最大实数k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知．由此知过点P₁，P₂的直线l的方程为2x+y=1．
（Ⅱ）由P_n（a_n，b_n）在直线l上，知2a_n+b_n=1．故b_n+1=1-2a_n+1．由a_n+1=a_nb_n+1，得a_n+1=a_n-2a_na_n+1．由此知是公差为2的等差数列．
（Ⅲ）由．，知．所以，．依题意恒成立．设，所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．
解答：解：（Ⅰ）因为，所以．所以．（1分）
所以过点P₁，P₂的直线l的方程为2x+y=1．（2分）
（Ⅱ）因为P_n（a_n，b_n）在直线l上，所以2a_n+b_n=1．所以b_n+1=1-2a_n+1．（3分）
由a_n+1=a_nb_n+1，得a_n+1=a_n（1-2a_n+1）．即a_n+1=a_n-2a_na_n+1．
所以．所以是公差为2的等差数列．（5分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得．
所以．
所以．（7分）
所以．（8分）
依题意恒成立．
设，
所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．（10分）
因为
==，
所以F（n）（x∈N^*）为增函数．（12分）
所以．
所以．所以．（14分）
点评：本题考查数列与解析几何的综合运用，难度较大，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用公式．