Question

动点P为椭圆上异于椭圆顶点（±a，0）的一点，F₁、F₂为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F₁P、F₁F₂的延长线及线段PF₂相切，则圆心C的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）
A．一条直线
B．双曲线的右支
C．抛物线
D．椭圆

Answer 1

【答案】分析：画出圆M，切点分别为E、D、G，由切线长相等定理知F₁G=F₁E，PD=PE，F₂D=F₂G，根据椭圆的定义知PF₁+PF₂=2a，PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（PD=PE）=F₁G+F₂D（F₁G=F₁E）=F₁G+F₂G=2a，由此入手知M点的轨迹是垂直于x轴的一条直线（除去A点）．
解答：解：如图画出圆M，切点分别为E、D、G，
由切线长相等定理知
F₁G=F₁E，PD=PE，F₂D=F₂G，
根据椭圆的定义知PF₁+PF₂=2a，
∴PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（PD=PE）
=F₁G+F₂D（F₁G=F₁E）
=F₁G+F₂G=2a，
∴2F₂G=2a-2c，F₂G=a-c，
即点G与点A重合，
∴点M在x轴上的射影是长轴端点A，
M点的轨迹是垂直于x轴的一条直线（除去A点）；
故选A．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．