Question

20．已知函数f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，x∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）求函数f（x）的值域；  
（2）若f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$，α∈（0，π），求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）运用二倍角的正弦和和差角（辅助角）公式，可化简函数的解析式，结合正弦函数的值域可得答案；
（2）由f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$，α∈（0，π），利用同角三角函数的基本关系公式，求sin（α+$\frac{π}{3}$）和cos（α+$\frac{π}{3}$），再由差角正弦公式，可得答案．

解答 解：（1）f（x）=-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=-$\sqrt{3}$×$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）
故f（x）值域为：[-1，1]；
（2）∵f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$，
∵α∈（0，π），
∴α+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），
则α+$\frac{π}{3}$为钝角，
故cos（α+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
故sinα=sin[（α+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=sin（α+$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-cos（α+$\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1+3\sqrt{5}}{8}$．

点评 本题考查二倍角的正弦和余弦公式及运用，考查正弦函数的值域问题，考查三角函数值的求法，注意周期的运用，考查运算能力，属于中档题．