Question

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， 

BC=1，PA=2，E为PD的中点.

（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.

Answer 1

(1) AC与PB所成角的余弦值为. (2) N点到AB、AP的距离分别为1，.

解析:

  方法一  （1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0），B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、

E(0，，1)，

从而=（，1，0），=（，0，-2）.

设与的夹角为，

则cos===，

∴AC与PB所成角的余弦值为.

（2）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x,0,z）,则=（-x，，1-z），由NE⊥平面PAC可得

，即,

化简得,∴

即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，.

方法二  （1）设AC∩BD=O，

连接OE，AE，BD，

则OE∥PB，

∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.

在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，

∴由余弦定理得

cos∠EOA=,

即AC与PB所成角的余弦值为.

(2)在平面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F,则∠ADF=.连接PF,则在Rt△ADF中,

DF==,

AF=AD·tan∠ADF=.

设N为PF的中点，连接NE，则NE∥DF.

∵DF⊥AC，DF⊥PA，

∴DF⊥平面PAC，从而NE⊥平面PAC.

∴N点到AB的距离为AP=1，

N点到AP的距离为AF=.