题目内容
【题目】平面直角坐标系
中，经过椭圆
： 
的一个焦点的直线
与
相交于
两点， 
为
的中点，且
斜率是
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程；
(Ⅱ)直线
分别与椭圆
和圆
： 
相切于点
，求
的最大值.
【答案】(Ⅰ) 
；(Ⅱ)1.
【解析】试题分析：
(Ⅰ)设出点M,N的坐标，利用点差法计算可得
，结合焦点坐标有
，据此计算可得椭圆
的方程是
；
(Ⅱ)设
分别为直线
与椭圆和圆的切点， 
，联立直线与椭圆的方程有
，利用判别式
，可得
， 
，直线
与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，据此可得
， 
，则
，结合绝对不等式的结论有当
时， 
的最大值是1.
试题解析：
(Ⅰ)设
， 
，则
， 
， 
， 
，
由此可得
， 
，
又由题意知， 
的右焦点是
，故
，
因此
， 
，所以椭圆
的方程是
；
(Ⅱ)设
分别为直线
与椭圆和圆的切点， 
，
直线
的方程为： 
，代入
得
，判别式
，得
①，
， 
直线
与
相切，所以
，即
，再由①得
， 
，
，
因为
，当
时取等号，所以
，
因此当
时， 
的最大值是1
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