Question

【题目】如图，已知三棱锥的三条侧棱， ， 两两垂直， 为等边三角形， 为内部一点，点在的延长线上，且．

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）证明： ；

（Ⅲ）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ) .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件利用勾股定理得， ，得进行证明；（Ⅱ）取的中点，连接、，通过证明平面来证得结论；（Ⅲ）以、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量的夹角的余弦值，结合图形即可得结论．

试题解析：（Ⅰ）因为， ， 两两垂直，

所以，

又△为等边三角形，

所以 ，故

（Ⅱ）取的中点，连接、

因为， ，所以

，所以平面

所以

（Ⅲ）如图建立空间坐标系

因为，可设,则

由（Ⅰ）同理可得

因为，

所以

所以设（）

所以，所以

平面的法向量为

设平面的法向量为则

取则所以，