题目内容
已知函数fn(x)＝(1＋x)n－1，（n∈N*，且n＞1）．
(Ⅰ) 设函数
，求
的最大值和最小值
(Ⅱ) 若
求证：fn(x)≥nx.
解析：(1)h(x)＝f3(x)－f2(x)＝x(1＋x)2，
∴h ' (x)＝(1＋x)2＋2x(1＋x)＝(1＋x)(1＋3x)，
令h ' (x)＝0，得x＝－1或x＝－
，………………8分
x | -2 | (－2, －1) | －1 | (－1, － | － | (－ | 0 |
h ' (x) |
| ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
|
h(x) | -2 | 0 | － | 0 |
h(x)在(－2, －1)，(－, 0)上单调递增，在(－1, －)上单调递减，过点(0, 0)．
时，
……7分
(Ⅱ)令g(x)＝fn(x)－nx＝(1＋x)n－1－nx．
则g '(x)＝n(x＋1)n－1－n＝n[(x＋1)n－1－1]，
∴当－2＜x＜0时，g '(x)＜0；当x＞0时g '(x)＞0．
∴g(x)在(－2, 0)上单调递减，在(0, ＋∞) 上单调递增．
∴当x＝0时，g(x)min＝g(0)＝0，即g(0)≥g(x) min＝0，∴fn(x)≥nx．…13分
练习册系列答案
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，fn+1(x)＝f1[fn(x)](n＝1，2，3，…)，f2 002(x)是
(n∈N*)．
(0)与
的大小；
．