Question

已知一种圆锥型金属铸件的高为h，底面半径为a，现要将它切割为圆柱体模型（如图所示），并要求圆柱的体积最大，求圆柱的最大体积及此时圆柱的底面半径和高．

Answer 1

分析：根据条件求出圆柱的体积，利用导数研究函数的最值即可．

解答：解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，
则由题意可得

r

a

=

h-x

h

，
∴x=

ah-rh

a

=

(a-r)h

a

，
∴圆柱的体积为V（r）=πr2x=πr2•

(a-r)

a

h，(0＜r＜a)，
即V（r）=

πh

a

(ar2-r3)，
则V'（r）=

πh

a

(2ar-3r2)，
由V'（r）=

πh

a

(2ar-3r2)=0，得r=

2

3

a．
列表如下：

r	（0， 2 3 a）	2 3 a．	（ 2 3 a，a）
V'（r）	+	0	-
V（r）	递增	极大值	递减

∴圆柱的最大体积为V(

2a

3

)=

4

27

πha2，此时r=

2

3

a，x=

1

3

h．

点评：本题主要考查导数在生活中的优化问题，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，考查导数的应用．