Question

（2005•普陀区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y²=2x的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为1，直线FA与抛物线交于点A、B，求向量

OA

和

OB

夹角的大小．

Answer 1

分析：由抛物线的对称性，不妨设A(1，

2

)，根据直线和抛物线的方程求出交点的坐标，即得点B的坐标，设向量

OA

与

OB

的夹角为 θ，由cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

，以及 0≤θ≤π，可得 θ 的值．

解答：解：F(

1

2

，0)，由抛物线的对称性，不妨设A(1，

2

)，则直线FA的方程为y=2

2

(x-

1

2

)，
把它代入y²=2x，得B(

1

4

，-

2

2

)，则

OA

=(1，

2

)，

OB

=(

1

4

，-

2

2

)，设向量

OA

和

OB

夹角为θ，
则cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

1 4 -1

3 • 3 4

=-

3

3

，由对称性，当A(1，-

2

)时，结论相同．
∴向量

OA

和

OB

夹角的大小为π-arccos

3

3

．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，求出点B的坐标，是解题的关键．