Question

球O与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁各面都相切，P是球O上一动点，AP与平面ABCD所成的角为α，则α最大时，其正切值为

 

．

Answer 1

分析：可根据几何性质来解决这个问题，球内切于一个正方体，其直径等于正方体的棱长，AP与平面ABCD所成的角为α，则α最大时，AP应在面AC₁上，故作出对棱面，在平面中研究．

解答：解：由题意，球直径与正方体边长相等，不妨令半径为r，则正方体边长为2r，由题意P点在对棱面AA₁C₁C上时，AP与平面ABCD所成的角为α，如图，截取对棱面AA₁C₁C，
由图知tan

α

2

=

r

2 r

=

2

2

故tanα=

2tan α 2

1-tan  2 α 2

=

2× 2 2

1-( 2 2 )2

=2

2

故应填 2

2

点评：本题考查正方体内切球的几何性质，以及切线长、半径、点心距组成的直角三角形．属于位置关系直接转化的题型．