Question

已知函数f（x）=x²-2lnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[

1

e

，e]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）=x²-x+a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（2）不等式f（x）＜m恒成立，只需f（x）max＜m即可．转化为求函数最大值．利用导数工具求解．
（3）方程f（x）=x²-x+a变形为x-2lnx-a=0，令g（x）=x-2lnx-a（x＞0），利用数形结合的思想，要求g（x）在区间[1，3]上恰好有两个相异的零点．通过g（x）的单调性及最值，极值求解．

解答：解：（1）由函数f（x）=x²-2lnx知其定义域为{x|x＞0}…（1分）
∵f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

令f'（x）＞0，解得：x＞1；令f'（x）＜0，解得：0＜x＜1
∴函数f（x）单调增区间是（1，+∞）；减区间是（0，1）…（4分）
（2）由题意知不等式f（x）＜m对?x∈[

1

e

，e]恒成立
∴m＞f(x)max，x∈[

1

e

，e]…（5分）
∴令f'（x）=0得x=1或-1（舍）
当x变化时，f（x），f'（x）的变化情况如下表：

x	1 e	( 1 e ，1)	1	（1，e）	e
f'（x）		-	0	+
f（x）	1 e2 +2	减	极小值f（1）	增	e2-2

∴f(x)max=max{f(

1

e

)，f(e)}…（7分）
又f(

1

e

)=

1

e2

+2＜f(e)=e2-2
∴f(x)max=f(e)=e2-2
∴m＞e²-2
∴实数m的取值范围是（e²-2，+∞）…（9分）
（3）依题意：关于x的方程f（x）=x²-x+a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根
即方程x²-2lnx=x²-x+a在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根
∴化简得方程x-2lnx-a=0在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根  …（10分）
令g（x）=x-2lnx-a，（x＞0）
∴g′(x)=1-

2

x

=

x-2

x

令g'（x）=0，得x=2
∴当x∈（0，2）时，g'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，g'（x）＞0．
∴函数g（x）在区间（0，2）上为减函数，在区间（2，+∞）上为增函数
∴要使方程x-2lnx-a=0在区间[1，3]上恰好有两个相异的实根，则

g(1)＞0 g(2)＜0 g(3)＞0

即

1-a＞0 2-2ln2-a＜0 3-2ln3-a＞0

…（13分）
解得2-2ln2＜a＜3-2ln3
∴实数a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3）．  …（14分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，恒成立问题，函数与方程，数形结合思想，属于中档题．