题目内容
对于命题P：存在一个常数M，使得不等式| a |
| 2a+b |
| b |
| 2b+a |
| a |
| a+2b |
| b |
| b+2a |
（1）试猜想常数M的值，并予以证明；
（2）类比命题P，某同学猜想了正确命题Q：存在一个常数M，使得不等式
| a |
| 3a+b |
| b |
| 3b+c |
| c |
| 3c+a |
| a |
| a+3b |
| b |
| b+3c |
| c |
| c+3a |
分析：（1）令a=b，得
≤M≤
，故M=
． 先用分析法证明
+
≤
，同理可证明
≤
+
，命题得证．
（2）利用类比推理可得，存在一个常数M，使得不等式
+
+
+
≤M≤
+
+
+
对任意正数a，b，c，d恒成立．
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 2a+b |
| b |
| 2b+a |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| a |
| a+2b |
| b |
| b+2a |
（2）利用类比推理可得，存在一个常数M，使得不等式
| a |
| 4a+b |
| b |
| 4b+c |
| c |
| 4c+d |
| d |
| 4d+a |
| a |
| a+4b |
| b |
| b+4c |
| c |
| c+4d |
| d |
| d+4a |
解答：解：（1）令a=b，得
≤M≤
，故M=
． 先证明
+
≤
：
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），
即证a2+b2≥2ab，即证（a-b）2≥0，这显然成立．∴
+
≤
．
再证明
≤
+
：
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），
即证a2+b2≥2ab，即证（a-b）2≥0，这显然成立．∴
≤
+
．
（2）存在一个常数M，使得不等式
+
+
+
≤M≤
+
+
+
对任意正数a，b，c，d恒成立．
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| a |
| 2a+b |
| b |
| 2b+a |
| 2 |
| 3 |
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），
即证a2+b2≥2ab，即证（a-b）2≥0，这显然成立．∴
| a |
| 2a+b |
| b |
| 2b+a |
| 2 |
| 3 |
再证明
| 2 |
| 3 |
| a |
| a+2b |
| b |
| b+2a |
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），
即证a2+b2≥2ab，即证（a-b）2≥0，这显然成立．∴
| 2 |
| 3 |
| a |
| a+2b |
| b |
| b+2a |
（2）存在一个常数M，使得不等式
| a |
| 4a+b |
| b |
| 4b+c |
| c |
| 4c+d |
| d |
| 4d+a |
| a |
| a+4b |
| b |
| b+4c |
| c |
| c+4d |
| d |
| d+4a |
对任意正数a，b，c，d恒成立．
点评：办呢题考查用分析法证明不等式，类比推理，找出M的值，是解题的突破口．
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