Question

对于命题P：存在一个常数M，使得不等式对任意正数a，b恒成立．
（1）试猜想常数M的值，并予以证明；
（2）类比命题P，某同学猜想了正确命题Q：存在一个常数M，使得不等式对任意正数a，b，c恒成立，观察命题P与命题Q的规律，请猜想与正数a，b，c，d相关的正确命题（不需要证明）．

Answer 1

【答案】分析：（1）令a=b，得，故．  先用分析法证明 ，同理可证明，命题得证．
（2）利用类比推理可得，存在一个常数M，使得不等式对任意正数a，b，c，d恒成立．
解答：解：（1）令a=b，得，故．  先证明：
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），
即证a²+b²≥2ab，即证（a-b）²≥0，这显然成立．∴．
再证明：
∵a＞0，b＞0，要证上式，只要证3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），
即证a²+b²≥2ab，即证（a-b）²≥0，这显然成立．∴．
（2）存在一个常数M，使得不等式
对任意正数a，b，c，d恒成立．
点评：办呢题考查用分析法证明不等式，类比推理，找出M的值，是解题的突破口．