题目内容
不等式x2+|2x-4|≥p对所有x都成立，则实数p的最大值为 ．
分析：求出x2+|2x-4|的最小值，即可得出实数p的最大值．
解答：解：当x≤2时，函数等价于f（x）=x2-2x+4，f′（x）=2x-2．
①当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；②当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故当x≤2时，f（x）有最小值f（1）=1-2+4=3；
当x＞2时，函数等价于f（x）=x2+2x-4，f′（x）=2x-2，故x＞2时，函数是单调递增的，此时f（x）min=f（2）=4．
∴x2+|2x-4|的最小值为3，故p≤3
∴实数p的最大值为3．
故答案为3．
①当x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；②当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故当x≤2时，f（x）有最小值f（1）=1-2+4=3；
当x＞2时，函数等价于f（x）=x2+2x-4，f′（x）=2x-2，故x＞2时，函数是单调递增的，此时f（x）min=f（2）=4．
∴x2+|2x-4|的最小值为3，故p≤3
∴实数p的最大值为3．
故答案为3．
点评：本题考查恒成立问题，考查函数最值的确定，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
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