Question

已知抛物线与坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为.

（1）求实数的取值范围；

（2）设抛物线与ｘ轴的交点从左到右分别为A、B，与ｙ轴的交点为C，求A、B、C三点的坐标；

（3）设直线是抛物线在点A处的切线，试判断直线是否也是圆的切线？并说明理由.

 

 

Answer 1

【答案】

直线不可能是圆的切线．

【解析】解：（１）∵抛物线与坐标轴有三个交点∴，否则抛物线与坐标轴只有两个交点，与题设不符,由知，抛物线与ｙ轴有一个非原点的交点，故抛物线与ｘ轴有两个不同的交点，即方程有两个不同的实根

∴即

∴的取值范围是或-----------------------------------3分

（２）令ｘ＝０得，∴  ---------------------------------4分

令得解得

∴,  ------------------------------6分

（３）解法１：∵　∴

∴直线的斜率-----------------------7分

∵圆过A、B、C三点，∴圆心M为线段AB与AC的垂直平分线的交点

∵AB的垂直平分线即抛物线的对称轴

∵线段AC的中点为直线AC的斜率

∴线段AC的垂直平分线方程为---()----10分

将代入()式解得，即------------------------11分

∴，若直线也是圆的切线，则

即解得

这与或矛盾       ----------------------------------------13分

∴直线不可能是圆的切线．       -----------------------------------14分

解法２：∵　∴

∴直线的斜率---------------------------7分

设圆的方程为

∵圆过,，

∴　解得------------10分

∴圆心  -------------------------------------------------11分

∴，若直线也是圆的切线，则

即解得

这与或矛盾----------------------------------------13分

∴直线不可能是圆的切线．-----------------------------------14分