Question

a从-1、1、2中任取一个数，b从-1、0、1中任取一个数．
（I）求函数f（x）=

1

2

ax2+bx+1有零点的概率；
（II）求使两个不同向量

m

=(a，1)，

n

=(1，-b)的夹角θ为锐角的概率．

Answer 1

分析：（1）先用列举法得出基本事件的总数，再根据二次函数有零点的充要条件即可得出函数f（x）=

1

2

ax2+bx+1有零点的事件的个数，从而求出其概率；
（2）两个不同向量

m

=(a，1)，

n

=(1，-b)的夹角θ为锐角?

m • n ＞0 m 与 n b不共线

，解出即可．

解答：解：设点P（a，b），共有9个：（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（1，-1），（1，0），（1，1），（2，-1），（2，0），（2，1）．
（Ⅰ）记f(x)=

1

2

ax2+bx+1有零点为事件A．
∵f(x)=

1

2

ax2+bx+1有零点，a≠0．
∴△≥0，化为b²≥2a，
故满足条件的（a，b）有3个，分别为（-1，-1），（-1，0），（-1，1）．
∴概率P（A）=

3

9

=

1

3

．
（2）记两个不同向量

m

=(a，1)，

n

=(1，-b)的夹角θ为锐角为事件B．
∴

m • n ＞0 m 与 n b不共线

，化为

a＞b -ab≠1

，
故符合条件的P（a，b）共有4个：（1，0），（2，-1），（2，0），（2，1）．
∴P（B）=

4

9

．

点评：根据具体问题正确求出基本事件和要求事件的个数是解题的关键．