Question

设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：

①，②.

(Ⅰ)若等比数列为阶“期待数列”,求公比；

(Ⅱ)若一个等差数列既是阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式；

(Ⅲ)记阶“期待数列”的前项和为.

(1)求证: ；

(2)若存在，使,试问数列能否为阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

Answer 1

解: (Ⅰ) 若，则    由①得，

由②得或.  若，由①得, ，得，不可能.

综上所述.                                       

(Ⅱ)设等差数列的公差为.

因为，所以.所以.

因为，所以由得.

由题中的①、②得

,   ，

两式相减得, 即.    又,得.

所以.  

(Ⅲ) 记中非负项和为,负项和为.

则, 得.

（1） 因为，

所以.

（2） 若存在，使，由前面的证明过程知：

，

且.

记数列的前项和为.

则由(1)知, .

所以

因为，

所以.

所以,.

又,

则.

所以.

所以与不能同时成立.

所以对于有穷数列,

若存在，使，

则数列不能为阶“期待数列”.