Question

（2013•丰台区一模）设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n），试证：|Sk|≤

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）结合已知新定义即可写出符合条件的数列
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由题意可得，a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=0，结合等差数列的求和公式可求a₁+a₂₀₁₃=0，从而可求得a₁₀₀₇=0，进而可得a₁₀₀₈=d，分d＞0及d＜0两种情况可求通项公式
（Ⅲ）当k=n时，显然|Sn|=0≤

1

2

成立； 当k＜n时，根据条件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），从而可求|S_k|，再利用不等式的性质即可证明

解答：解：（Ⅰ）数列-

1

2

，0，

1

2

为三阶期待数列…（1分）
数列-

3

8

，-

1

8

，

1

8

，

3

8

为四阶期待数列，…（3分）（其它答案酌情给分）
（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，
因为a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃=0，
∴

2013(a1+a2013)

2

=0，
∴a₁+a₂₀₁₃=0，
即a₁₀₀₇=0，
∴a₁₀₀₈=d，…（5分）
当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，
当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013=

1

2

∴1006d+

1006×1005d

2

=

1

2

即d=

1

1006×1007

…（6分）
∴该数列的通项公式为a_n=a₁₀₀₇+（n-1007）d=

n-1007

1006×1007

（n∈N^*且n≤2013），…（7分）
当d＜0时，同理可得an=

1007-n

1006×1007

（n∈N^*且n≤2013）．…（8分）
（Ⅲ）当k=n时，显然|Sn|=0≤

1

2

成立； …（9分）
当k＜n时，根据条件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），…（10分）
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，…（11分）
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|
∴|Sk|≤

1

2

（14分）

点评：本题以新定义为载体主要考查了数列的通项及求和公式的应用，解答本题的关键是具备一定的逻辑推理的运算的能力