Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-1|+2|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥5对?x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，f（x）≥5?f（x）=2|x+1|+|x-1|≥5，对x分x＜-1，-1≤x≤1，x＞1三类讨论，去掉绝对值符号，即可解得不同情况下的解集，再取并集即可；
（2）不等式f（x）≥5?x∈R对恒成立??x∈R，f（x）_min≥5；分a＞1、a=1、a＜1三类讨论，去掉绝对值符号，可分别求得其最小值，最后取其并集即可．

解答：解：（1）当a=-1时，f（x）≥5?f（x）=2|x+1|+|x-1|≥5，
①当x＜-1时，不等式可化为：

x＜-1 -2(x+1)-(x-1)≥5

，
解得：x≤-2；
②当-1≤x≤1时，不等式化为：

-1≤x≤1 2(x+1)-(x-1)≥5

，解得：x∈∅；
③当x＞1时，不等式化为：

x＞1 2(x+1)+(x-1)≥5

，解得：x≥

4

3

，
∴当a=-1时，不等式f（x）≥5的解集为：（-∞，-2]∪[

4

3

，+∞）；
（2）不等式f（x）≥5?x∈R对恒成立，即?x∈R，f（x）_min≥5．
当a＞1时，f（x）=

-3x+1+2a，x＜1 -x-1+2a，1≤x≤a 3x-1-2a，x＞a

，
∴f（x）_min=a-1≥5，即a≥6；
当a=1时，f（x）=

-3x+3，x＜1 3x-3，x≥1

，
∴f（x）_min=0，不符合；
当a＜1时，f（x）=

-3x+1+2a，x＜a x+1-2a，a≤x≤1 3x-1-2a，x＞1

，
∴f（x）_min=-a+1≥5，即a≤-4，
综上所述，a≤-4或a≥6．

点评：不同考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与方程思想的综合运用，通过分类讨论，去掉绝对值符号是关键，属于中档题．