Question

设双曲线的右焦点为F₂，过点F₂的直线l与双曲线C相交于A，B两点，直线l的斜率为，且；
（1）求双曲线C的离心率；
（2）如果F₁为双曲线C的左焦点，且F₁到l的距离为 ，求双曲线C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用双曲线的第二定义可求得双曲线C的离心率；
（2）利用点到直线间的距离公式可求得由F₁到l的距离为，于是有=，可求得c，继而可得a²，b²的值，从而可求得双曲线C的方程．
解答：解：作双曲线的右准线L：x=，
分别作AA₁⊥L，BB₁⊥L，垂足分别为A₁、B₁，作BH⊥AA₁，交AA₁于H，
根据双曲线第二定义，==e，（e是离心率），
∵=2，
∴|AA₁|=2|BB₁|=2|A₁H|，
∴H为线段AA₁的中点，故|A₁H|=|AH|，
设|BB₁|=m，则|AH|=m，|AA₁|=2m①
∵直线AB的斜率为，设AB与x轴成角为θ，则tanθ=，即=，
∴|BH|=|AH|=m，
∴在直角三角形BHA中，|AB|=6m；
∴|AF₂|=4m，②
由①②得：e===2；
（2）∵直线方程l为：y=（x-c），即x-y-c=0，
左焦点F₁至AB距离d===，
又F₁到l的距离为 ，
∴=，
∴c=2，又e==2，
∴a=1，b=，
∴双曲线方程为：x²-=1．
点评：本题考查双曲线的第二定义，考查点到直线间的距离公式，考查双曲线的性质的综合应用，属于难题．