题目内容

三棱锥P-ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=
13
，PB=
29
，求PC与AB所成角的余弦值．
分析：利用勾股定理即可得出线段AB，PA，PC的长，进而得到cos∠BAC，cos∠ACP，利用向量及其数量积运算可得
BP
=
BA
+
AC
+
CP
及
BP
2=(
BA
+
AC
+
CP
)2，解出即可．
解答：解：如图所示，
∵∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=
AC2+BC2
=
22+(
13
)2
=
17
，
cos∠BAC=
AC
AB
=
2
17
=
2
17
17
，cos＜
BA
，
AC
＞=-
2
17
17
；
在Rt△ABP中，由勾股定理可得PA=
PB2-AB2
=
(
29
)2-(
17
)2
=2
3
；
在Rt△APC中，由勾股定理可得PC=
AC2+PA2
=
22+(2
3
)2
=4，
cos∠ACP=
AC
CP
=
2
4
=
1
2
，cos＜
AC
，
CP
＞=-
1
2
．
∵
BP
=
BA
+
AC
+
CP
，好
∴
BP
2=(
BA
+
AC
+
CP
)2=
BA
2+
AC
2+
CP
2+2
BA
•
AC
+2
BA
•
CP
+2
AC
•
CP
，
∴(
29
)2=(
17
)2+22+42+2×
17
×2cos＜
BA
，
AC
＞+2×
17
×4cos＜
BA
，
CP
＞+2×2×4×cos＜
AC
，
CP
＞，
即29=17+4+16+4
17
×(-
2
17
17
)+8
17
cos＜
BA
，
CP
＞+16×(-
1
2
)．
化为cos＜
BA
，
CP
＞=
17
17
．
∴异面直线PC与AB所成角的余弦值为
17
17
．
点评：熟练掌握勾股定理、直角三角形的边角关系、向量及其数量积运算可得
BP
=
BA
+
AC
+
CP
及
BP
2=(
BA
+
AC
+
CP
)2是解题的关键．
练习册系列答案
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精英家教网如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°．
（1）证明：AB⊥PC；
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π2
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12
时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；
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．

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