Question

5．已知函数f（x）=x²-2kx+k+1．
（1）若f（x）在[-2，3）上是单调函数，求实数k的取值范围；
（2）若函数f（x）在[1，2]上有最小值-5，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求导得f'（x）=2x-2k，利用导函数的正负判断原函数的单调性，结合一次函数的性质得出f'（-2）f'（3）≥0，求解即可；
（2）配方得：f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，对称轴x=k，分别对对称轴位置进行讨论求解．

解答 解：（1）f'（x）=2x-2k
∵f（x）在[-2，3）上是单调函数，
∴f'（x）在该区间恒大于零或恒小于令，
∴f'（-2）f'（3）≥0
∴（k+2）（k-3）≥0
∴k≥3或k≤-2；
（2）f（x）=x²-2kx+k+1=（x-k）²-k²+k+1，对称轴x=k．
①当k＜1时，f_min（x）=f（1）=1-2k+k+1=-5，解得k=7，（舍去）
②当1≤k≤2时，f_min（x）=f（k）=-k2+k+1=-5，解得k=-2或3，（舍去）
③当k＞2时，f_min（x）=f（2）=4-4k+k+1=-5，解得k=$\frac{10}{3}$．
综合①②③可得k=$\frac{10}{3}$．

点评 考察了导函数的利用和二次函数闭区间最值的讨论问题，属于常规题型，应熟练掌握．