Question

已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c．若向量

m

=(cos2

A

2

，cos

A

2

-1)，向量

n

=（1，cos

A

2

+1)，且

m

•

n

=-1．
（1）求A的值；             
（2）若a=2

3

，三角形面积S=

3

，求b+c的值．

Answer 1

（1）∵向量

m

=(cos2

A

2

，cos

A

2

-1)，向量

n

=(1，cos

A

2

+1)，且 2

m

•

n

=-1．
∴cos2

A

2

-sin2

A

2

=-

1

2

，…（3分）
求得cosA=-

1

2

，又A∈（0，π），所以，A=

2

3

π．…（5分）
（2）S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

2π

3

=

3

，∴bc=4．…（7分）
又由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccos

2π

3

=b2+c2+bc．…（9分）
∴16=（b+c）²，所以b+c=4．…（12分）