Question

【题目】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A′，使二面角A′—BD—C为直二面角，给出下面四个命题：①A′D⊥BC；②三棱锥A′—BCD的体积为；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC.其中正确命题的个数是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据，，，， 易得 ，再根据，平面平面，得平面，可判断③的正误；由二面角为直二面角，可得平面，则可求出，进而可判断②的正误；根据平面，有， 得平面，④利用面面垂直的判定定理判断④的正误；根据平面，有，若，则可证平面，则得到，与已知矛盾，进而可判断①的正误.

由题意，取中点，连接，则折叠后的图形如图所示：

由二面角为直二面角，可得平面，则，

＝，②正确，

∵，，且，

∴平面，故③正确，

∵，由几何关系可得，，

∴，∴，

由平面，得，又

∴平面，∵平面，

∴　平面平面，④正确，

平面，，若，则可证平面，则得到，与已知矛盾，所以①错误.

故选C.