题目内容

已知函数f（x）=2sinωx• $数学公式$ （其中ω＞o），且函数f（x）的最小正周期为π
（I）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移 $数学公式$ 单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 $数学公式$ 倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）的单调区间．

解：（I）∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos²ωx= $\text{[math]}$ （1+cos2ωx）
∴f（x）=sin2ωx+ $\text{[math]}$ （1+cos2ωx）- $\text{[math]}$
=sin2ωx+ $\text{[math]}$ cos2ωx=2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）
∵函数f（x）的最小正周期为π
∴ $\text{[math]}$ =π，解之得ω=1
（II）由（I），得f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）
将函数y=f（x）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 单位长度，得到y=f（x+ $\text{[math]}$ ）的图象；
再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 $\text{[math]}$ 倍（纵坐标不变）得到y=f（2x+ $\text{[math]}$ ）的图象
∴函数y=g（x）的解析式为y=2sin[2（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]，可得g（x）=2sin（4x+ $\text{[math]}$ ）
令- $\text{[math]}$ +2kπ≤4x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ，k∈Z，解之得- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ≤x≤ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，k∈Z
∴函数g（x）的单调增区间是[- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ]，k∈Z
同理，令 $\text{[math]}$ +2kπ≤4x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ（k∈Z ），得g（x）的单调减区间是[ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ]，k∈Z
综上所述，可得g（x）的单调减区间是[ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ]，单调增区间是[- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ]，k∈Z．
分析：（I）利用二倍角的三角函数公式结合辅助角公式进行化简，得f（x）=2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ）．再利用三角函数的周期公式即可解出ω的值．
（II）根据函数图象平移的规律，可得函数y=g（x）的解析式为g（x）=2sin（4x+ $\text{[math]}$ ），再由正弦函数的单调区间的结论解关于x的不等式，即可求出函数g（x）的单调区间．
点评：本题给出三角函数表达式，求函数的图象平移后所得图象对应函数的单调区间，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题．