Question

已知函数f（x）=2cosxsinx+2

3

cos²x-

3

．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+

π

3

），由此求得函数的最小正周期．
（2）要使f（x） 递增，必须使 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得函数f（x）的单调增区间．

解答：解：（1）函数f（x）=2cosxsinx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）=2sin（2x+

π

3

），
∴函数f（x）的最小正周期为π．
（2）要使f（x） 递增，必须使 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
∴函数f（x）的递增区间为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，三角函数的周期性及求法，正弦函数的增区间，属于中档题．