Question

已知函数f（x）=a^x+x²，g（x）=xlna．a＞1．
（I）求证函数F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上单调递增；
（II）若函数y=|F(x)-b+

1

b

|-3有四个零点，求b的取值范围；
（III）若对于任意的x₁，x₂∈[-1，1]时，都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（I）证明：∵函数f（x）=a^x+x²，g（x）=xlna，
F（x）=a^x+x²-xlna
求导函数，可得F′（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，
∴lna＞0，当x＞0时，a^x-1＞0，
∴F′（x）＞0，故函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）令F′（x）=2x+（a^x-1）lna=0，得到x=0，
F′′（x）=a^x（lna）²+2＞0，F′（x）为单调增函数，说明x=0是唯一的极值点，也是最小值点；F（0）=1，
∵F′（0）=0，∴当x＜0时，F′（x）＜0，为减函数；
F（x），F′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
F′（x）	-	0	+
F（x）	递减	极小值1	递增

∵函数y=|F(x)-b+

1

b

|-3=0，也即|F(x)-b+

1

b

|=3，有四个零点；
∴等价于方程

F(x)-b+ 1 b =3…① F(x)-b+ 1 b =-3…②

有解，∵F（x）≥F（0）=1，
由①得，F（x）=3+b-

1

b

≥1，即

b2+2b-1

b

＞0，解得b＞

2

-1或-1-

2

＜b＜0；
由②得，F（x）=-3+b-

1

b

≥1，即

b2-4b-1

b

＞0，解得，b＞2+

5

或2-

5

＜b＜0；
综上得：b＞2+

5

或2-

5

＜b＜0；
（Ⅲ）问题等价于F（x）在[-1，1]的最大值与最小值之差小于等于e²-2．
由（Ⅱ）可知F（x）在[-1，0]上递减，在[0，1]上递增，
∴F（x）的最小值为F（0）=1，最大值等于F（-1），F（1）中较大的一个，
F（-1）=

1

a

+1+lna，F（1）=a+1-lna，F（1）-F（-1）=a-

1

a

-2lna，
记g（t）=t-

1

t

-2lnt（t＞0），
∵g′（t）=1+

1

t2

-

2

t

=（

1

t

-1）²≥0（当t=1等号成立）
∴g（t）在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，
所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，
也就是当t＞1时，F（1）-F（-1）＞0，即F（1）＞F（-1）；
又由a＞1时，则F（x）的最小值为F（0）=1，最大值为F（1）=a+1-lna，
则|F(x2)-F(x1)|≤e2-2?F（1）-F（0）=a-lna≤e²-2，
令h（x）=x-lnx（x＞1），h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

在（1，+∞）上恒大于0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，又a＞1，∴h（a）=a-lna≤e²-2=h（e²）
解得a≤e²；
则a的取值范围为a∈（1，e²]．