题目内容

已知数列{xn}满足：x1=1，xn+1=
5(1+xn)
5+xn
(n∈N*)．
（1）证明：xn＜xn+1（n∈N*）；
（2）证明：
5
-xn＜2•(
4
5
)n-1(n∈N*)．
分析：（1）由条件xn+1-xn=
20
(5+xn)(5+xn-1)
•(xn-xn-1)，故只需判断其大于0即可；
（2）构造an=
xn+
5
xn-
5
，利用分析法证明，欲证
5
-xn＜2•(
4
5
)n-1(n∈N*)，即证
5
-xn＜2•(
4
5
)n-1，从而可证．
解答：解：（1）证明：xn+1-xn=
20
(5+xn)(5+xn-1)
•(xn-xn-1)由条件，显然xn＞0，∴xn+1-xn，xn-xn-1符号相同，依次迭代可知，∴xn+1-xn，x2-x1符号相同，而x2-x1＞0，∴xn+1-xn＞0，即xn＜xn+1（n∈N*）；
（2）令an=
xn+
5
xn-
5
，∴
an+1
an
= 
5
+1
5
-1
，∴an=-(
5
+1
5
-1
)n，∴an-1=-(
5
+1
5
-1
)n-1，∴
5
-xn=
2
5
1+(
5
+1
5
-1
)n

欲证
5
-xn＜2•(
4
5
)n-1(n∈N*)，即证
5
-xn＜2•(
4
5
)n-1，即证
1
5
+
3+
5
2
5
•(
3+
5
2
)n-1＞(
4
5
)n-1
∵
3+
5
2
5
＞ 1， (
3+
5
2
)n-1＞(
4
5
)n-1，∴
3+
5
2
5
•(
3+
5
2
)n-1＞(
4
5
)n-1，∴
1
5
+
3+
5
2
5
•(
3+
5
2
)n-1＞(
4
5
)n-1得证．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意分析法的证明过程．
练习册系列答案
相关题目
10、已知数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1（n≥2），x1=a，x2=b，Sn=x1+x2+…+xn，则下面正确的是（　　）
已知数列{xn}满足x2=
1
2
x1，xn=
1
2
（xn-1+xn-2）（n=3，4，5，…），若
lim
n→∞
xn=2，则x1=
 
．
数列{an}中，如果存在非零常数T，使得an+T=an对于任意的非零自然数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2），如果x1=1，x2=a（a∈R，a≠0），当数列{xn}的周期为3时，求该数列前2009项和是
1339+a
1339+a
．
已知数列{xn}满足：x1=1且xn+1=
xn+4
xn+1
，n∈N*．
（1）计算x2，x3，x4的值；
（2）试比较xn与2的大小关系；
（3）设an=|xn-2|，Sn为数列{an}前n项和，求证：当n≥2时，Sn≤2-
2
2n
．
已知数列{xn}满足：x1∈(0，1)，xn+1=
xn(
x
2
n
+3)
3
x
2
n
+1
(n∈N*）．
（1）证明：对任意的n∈N*，恒有xn∈（0，1）；
（2）对于n∈N*，判断xn与xn+1的大小关系，并证明你的结论．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网