题目内容

数列{an}中，如果存在非零常数T，使得an+T=an对于任意的非零自然数n均成立，那么就称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2），如果x1=1，x2=a（a∈R，a≠0），当数列{xn}的周期为3时，求该数列前2009项和是
1339+a
1339+a
．
分析：先要弄清题意中所说的周期数列的含义，然后利用这个定义，针对题目中的数列的周期，先求x3，再前三项和s3，最后求s2009．
解答：解解：∵xn+1=|xn-xn-1|（n≥2，n∈N*），
且x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），
∴x3=|x2-x1|=1-a
∴该数列的前3项的和s3=1+a+（1-a）=2
∵数列{xn}周期为3，
∴该数列的前2009项的和s2009=s2007+x1+x2=
2007
3
s3+1+a=1339+a，
故答案为1339+a．
点评：本题以周期数列为载体，考查数列具的周期性，考查该数列的前n项和．解答关键在于应由题意先求一个周期的和，再求该数列的前n项和sn．
练习册系列答案
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在数列{an}中，如果存在非零常数T，使得am+T=am对任意正整数m均成立，那么就称{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2，n∈N*），且x1=1，x2=a（a≤1，a≠0），当数列{xn}周期为3时，则该数列的前2007项的和为
 
在数列{an}中，如果an+1=
1
2
an+1，(n∈N*)，且a1=1，则a4等于（　　）
A、4
B、
15
8
C、
11
2
D、
9
8
（文科） 在数列{an}中，如果对任意n∈N+都有
an+2-an+1an+1-an
=p（p为非零常数），则称数列{an}为“等差比”数列，p叫数列
{an}的“公差比”．
（1）已知数列{an}满足an}=-3•2n+5（n∈N+），判断该数列是否为等差比数列？
（2）已知数列{bn}（n∈N+）是等差比数列，且b1=2，b2=4公差比p=2，求数列{bn}的通项公式bn；
（3）记Sn为（2）中数列{bn}的前n项的和，证明数列{Sn}（n∈N+）也是等差比数列，并求出公差比p的值．
数列{an}中，如果存在ak，使得“ak＞ak-1且ak＞ak+1”成立（其中k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an=-6n2+22n，且{an}的峰值为ak，则正整数k的值为
2
2
．
一般地，在数列{an}中，如果存在非零常数T，使得am+T=am对任意正整数m均成立，那么就称{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．已知数列{xn}满足xn+1=|xn-xn-1|（n≥2，n∈N*），如果x1=1，x2=a，（a≤1，a≠0），设S2009为其前2009项的和，则当数列{xn}的周期为3时，S2009=
1339+a
1339+a
．

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