Question

4．已知a²-3a+1=0，求：
（1）a${\;}^{-\frac{1}{2}}$+a${\;}^{\frac{1}{2}}$；
（2）a³+a^-3．

Answer 1

分析 由已知条件求出$a=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，从而得到a^-1+a=3，由此利用分数指数幂的性质和运算法则能求出${a}^{-\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{2}}$和a³+a^-3．

解答 解：（1）∵a²-3a+1=0，
∴$a=\frac{3±\sqrt{9-4}}{2}$=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
当a=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时，
∴${a}^{-\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{（{a}^{-\frac{1}{2}}+{a}^{\frac{1}{2}}）^{2}-2}$=$\sqrt{{a}^{-1}+a-2}$=$\sqrt{\frac{2}{3+\sqrt{5}}+\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2}$=$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}+\frac{3+\sqrt{5}}{2}-2}$=1，
当a=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$时，
∴${a}^{-\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{（{a}^{-\frac{1}{2}}+{a}^{\frac{1}{2}}）^{2}-2}$=$\sqrt{{a}^{-1}+a-2}$=$\sqrt{\frac{2}{3-\sqrt{5}}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}-2}$=$\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}-2}$=1，
∴${a}^{-\frac{1}{2}}$+${a}^{\frac{1}{2}}$=1．
（2）由（1）得a^-1+a=3，
∴a³+a^-3=（a+a^-1）（a²-1+a^-2）=3[（a^-1+a）²-3]=18．

点评 本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要注意分数指数幂的性质和运算法则的合理运用．