Question

如图所示的螺旋线是用以下方法画成的，△ABC是边长为1的正三角形，曲线CA₁，A₁A₂，A₂A₃分别是A，B，C为圆心，AC，BA₁，CA₂为半径画的弧，曲线CA₁A₂A₃称为螺旋线的第一圈；然后又以A为圆心，AA₃半径画弧，如此继续下去，这样画到第圈．设所得螺旋线CA₁A₂A₃…A_3n-2A_3n-1A_3n的总长度为S_n，则S_n=

 

．

Answer 1

分析：根据题意如果这样画到第n圈得到n条螺旋线，是由3n条弧长构成，这些弧长的圆心角都为

2π

3

，根据弧长公式得到这些弧长是

2π

3

为首项，

2π

3

为公差，项数为3n的等差数列，所以这些螺旋线的总长度即为等差数列的前3n的和，求出即可．

解答：解：根据弧长公式知CA₁，A₁A₂，A₂A₃…，A_3n-2A_3n-1，A_3n-1A_3n的长度分别为

2π 3 ×π×1

π

，

2π 3 ×π×2

π

，…

2π 3 ×π×3n

π

，
即对应的长度分别为：

2π

3

，2×

2π

3

，…，3n×

2π

3

，
此数列是以

2π

3

为首项，

2π

3

为公差，项数为3n的等差数列，
则根据等差数列的求和公式得S_n=3n×

2π

3

+

3n(3n-1)

2

×

2π

3

=n（3n+1）π．
故答案为：n（3n+1）π

点评：本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和，解题的关键是归纳总结得到各弧长成等差数列．