Question

【题目】设函数，．

（1）若，且在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若且，求证：在区间上有且仅有一个零点．

Answer 1

【答案】（1）;（2）见解析.

【解析】试题分析： (1)已知单调区间求参数的取值范围,将问题转化为函数的最值问题;

(2)研究函数的零点,用零点存在性定理、数形结合思想求解.

试题解析：（1）∵，∴，

若，且在区间上单调递增，

则对任意的恒成立，即对任意的恒成立，

∴，即实数的取值范围为.

（2）当时，，∴，

由，得；由，得.∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，

当时，在区间上单调递减，且，

∴在区间上有且仅有一个零点，

当时，，∴在区间上单调递减，

又，，

∴在区间上有且仅有一个零点.

综上，若且，则在区间上有且仅有一个零点.

点晴：本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性以及零点的个数,对逻辑思维能力、数形结合思想要求很高,属于难题.第(1)问已知单调区间求参数的取值范围,将含参函数问题转化为确定函数的最值问题;第(2)问研究函数的零点,用零点存在性定理、数形结合思想求解.