Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若Sn=2an+n，且bn=

an-1

anan+1

．
（1）求证：{a_n-1}为等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）数列的第n项与前n项和的关系求得 a_n+1-1=2（a_n-1-1），a₁-1=-2≠0，可得{a_n-1}是以-2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）求出an=-2n+1，由此求得数列{b_n}的通项公式，再用裂项法求出数列{b_n}的前n项和．

解答：（1）解：由题意可得：当n≥2时，由 a_n =S_n-S_n-1=2a_n+n-（2a_n-1+n-1），可得 a_n =2a_n-1-1，…（2分）
∴a_n+1-1=2（a_n-1-1）．…（4分）
又因为S₁=2a₁+1，所以a₁=-1，a₁-1=-2≠0，
∴{a_n-1}是以-2为首项，2为公比的等比数列．…（7分）
（2）解：由（1）知，an-1=-2×2n-1=-2n，即an=-2n+1，…（9分）
∴bn=

-2n

(1-2n)(1-2n+1)

=

1

2n+1-1

-

1

2n-1

，（11分）
故Tn=-[(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]=

1

2n+1-1

-1．（14分）

点评：本题主要考查等比关系的确定，用裂项法对数列进行求和，数列的第n项与前n项和的关系，属于难题．