Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．

（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ

（II）求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值．

Answer 1

考点：

与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；向量语言表述面面的垂直、平行关系；用空间向量求平面间的夹角．

专题：

计算题；证明题．

分析：

首先根据题意以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；

（Ⅰ）根据坐标系，求出则、、的坐标，由向量积的运算易得•=0，•=0；进而可得PQ⊥DQ，PQ⊥DC，由面面垂直的判定方法，可得证明；

（Ⅱ）依题意结合坐标系，可得B、、的坐标，进而求出平面的PBC的法向量与平面PBQ法向量，进而求出cos＜，＞，根据二面角与其法向量夹角的关系，可得答案．

解答：

解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz；

（Ⅰ）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）；

则=（1，1，0），=（0，0，1），=（1，﹣1，0），

所以•=0，•=0；

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，

故PQ⊥平面DCQ，

又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ；

（Ⅱ）依题意，有B（1，0，1），

=（1，0，0），=（﹣1，2，﹣1）；

设=（x，y，z）是平面的PBC法向量，

则即，

因此可取=（0，﹣1，﹣2）；

设是平面PBQ的法向量，则，

可取=（1，1，1），

所以cos＜，＞=﹣，

故二面角角Q﹣BP﹣C的余弦值为﹣．

点评：

本题用向量法解决立体几何的常见问题，面面垂直的判定与二面角的求法；注意建立坐标系要容易求出点的坐标，顶点一般选在有两两垂直的三条直线的交点处，这样才有助于下一步的计算．