Question

已知函数f(x)=

m 1-x2 ，x∈(-1，1] 1-|x-2|，x∈(1，3]

（m＞1），且满足f（x+4）=f（x）．若函数F（x）=f（x）-x恰好有3个零点，则实数m的取值范围为（　　）

• A、(4，2

  7

  )
• B、(

  15

  ，3

  7

  )
• C、（4，8）
• D、[

  15

  ，8]

Answer 1

分析：根据所给的函数是一个分段函数，看出在两段上函数的零点即可，在后一段上函数一定有一个零点，问题转化到椭圆与直线的位置关系问题．

解答：解：当x∈（1，3]时，F（x）=1-|x-2|-x，
当x∈（1，2]时，F（x）=1-|x-2|-x=-1，
当x∈（2，3]时，F（x）=1-|x-2|-x=-2x+3
在（2，3]之间有一个零点，
当x∈（-1，1]时，F（x）=m

1-x2

-x
令y₁=m

1-x2

，y₂=x，
这两个曲线要有两个交点在（-1；1]上，
根据椭圆与直线的位置关系可以得到

y12

m2

+x2=1的横轴上方的图象与y=x有两个交点，
∴根据根与系数的关系可以得到m∈(

15

，3

7

)
故选B．

点评：本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是看出函数在两段上的特点，本题实际上考查直线与圆锥曲线之间的关系．