题目内容
函数f（x）=sin（
x）+c-2（c为常数），若f（x）=0的根成公差为4的等差数列，则f（4）的值是（ ）
| π |
| 4 |
分析：设方程的两根分别为x1，为x2，由题意可得x2=x1+4k，由它们都满足方程可得两个等式，代入化简可得c=2，再代入已知式子计算可得．
解答：解：设方程的两根分别为x1，x2，
由题意可得x2=x1+4k，k∈Z，
∴sin（
x1）+c-2=0，且sin
(x1+4k)+c-2=0
∴sin（
x1）=sin
(x1+4k)=sin（
x1+kπ）对任意整数k总成立
当k为偶数时，sin（
x1）=sin（
x1）显然成立
当k为奇数时，sin（
x1）=-sin（
x1）成立，
即sin（
x1）=sin（
x1）与sin（
x1）=-sin（
x1）都成立，
∴必有sin（
x1）=0，∴c=2，
所以f（x）=sin（
x）
∴f（4）=sinπ=0
故选A
由题意可得x2=x1+4k，k∈Z，
∴sin（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴sin（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
当k为偶数时，sin（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
当k为奇数时，sin（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
即sin（
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴必有sin（
| π |
| 4 |
所以f（x）=sin（
| π |
| 4 |
∴f（4）=sinπ=0
故选A
点评：本题考查等差数列的性质和三角函数的运算，属中档题．
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