Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+5的图象在x=1处的切线l斜率为3，当x=

2

3

时，有极值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）写出f（x）的单调区间；
（3）求f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）对其进行求导，根据题意曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为3，可得f′（1）=3，若x=

2

3

时，y=f（x） 有极值可f′（

2

3

）=0，由此可以求出f（x）的解析式；
（2）利用导数研究得出单调区间即可．
（3）考察当变化时，f（x），f′（x）变化情况求出最值．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意，得

f′( 2 3 )=3×( 2 3 )2+2a× 2 3 +b=0 f′(1)=3×12+2a×1+b=3

，解

a=2 b=-4

；
所以，f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）f′（x）=3x²+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′（x）=0，得x₁=-2，x₂=

2

3

；
当x＜-2，或x＞

2

3

时，f′（x）＞0，单增区间是（-∞，-2），或（

2

3

，+∞）
当-2＜x＜

2

3

时，f′（x）＜0，单减区间是（-2，

2

3

）
（3）当变化时，f（x），f′（x）变化情况如下表

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）	1
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）		↗	极大值	↘	极小值	↗
函数值	-2		13		95 27		4

由表可知，f（x）最小值=f（3）=-2，f（x）最大值=f（-2）=13

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调区间，最值问题，属于常规题．